| a) a² + a² = c² |
| c = √(2a²) = a√2 |
| Berechnung des Umfangs: u = 2a + 2a√2 = 2a(1 + √2) |
| Höhe h im gleichschenkligen Dreieck: (c/2)² + h² = c² |
| h² = c² - 1/4 c² = 3/4 c² |
| h = √(3/4 c²) = c/2 √3 |
| Berechnung der Fläche: A = 1/2 a * a + 1/2 c * c/2√3 = 1/2 a² + 1/4 c²√3 |
| Da c = a√2 ist gilt: |
| A = 1/2 a² + 1/4 a² * 2 * √3 = 1/2 a² + 1/2 a²√3 |
| A = 1/2 a²(1 + √3) |
| |
| b) Ein Schenkel des gleichschenkligen Rechtecks sei x. Dann gilt: |
| x² + x² = a² |
| 2x² = a² |
| x² = 1/2 a² |
| x = a/√2 |
| Berechnung des Umfangs: |
| u = a + 4 * a/√2 = a(1 + √(16/2)) = a(1 + 2√2) |
| Höhe h im gleichschenkligen Dreieck: (a/2)² + h² = a² |
| h² = a² - 1/4 a² = 3/4 a² |
| h = a/2 √3 |
| Berechnung der Fläche: A = 2 (1/2 * a/√2 * a/√2) + 1/2 a * a/2 √3 |
| A = a²/2 + a²/4 √3 = 1/4 a² (2 + √3) |
| |
| c) a² + (2a)² = c² |
| c² = a² + 4a² = 5a² |
| c = a√5 |
| Berechnung des Umfangs: u = 2a + 2c = 2a + 2a√5 = 2a(1 + √5) |
| Berechnung der Fläche: A = 2(1/2 * 2a * a) = 2a² |
| |
| d) c² = (3a)² + (4a)² = 9a² + 16a² = 25a² |
| c = 5a |
| Berechnung des Umfangs: u = 4c = 4 * 5a = 20a |
| Berechnung der Fläche: A = 4 * (1/2 3a * 4a) = 4 * 6a² = 24a² |
| |
| e) Berechnung des Umfangs: u = 4a + 5a + 10a + 5a = 24a |
| Höhe des Trapez: (5a)² = (3a)² + h² |
| h² = 25a² - 9a² = 16a² |
| h = 4a |
| Berechnung der Fläche: A = 1/2 (4a + 10a) * 4a = 1/2 * 14a * 4a = 28a² |
| |
| f) Ein Schenkel der rechtwinkligen Dreiecke sei x. |
| x² + x² = a² |
| 2x² = a² |
| x = √(a²/2) = a/√2 |
| Berechnung des Umfangs: u = 2a + 2(a/√2) + 2(2a/√2) = 2a + 2a/√2 + 4a/√2 |
| u = 2a + 6a/√2 = 2a + 3a√2 |
| Höhe h im gleichschenkligen Dreieck: h² + (a/√2)² = (2a/√2)² |
| h² = (a√2)² - (a/2 √2)² = 2a² - 1/2 a² = 3/2 a² |
| h = a√(3/2) |
| Berechnung der Fläche: A = 2(1/2 a/√2 a/√2) + 1/2 2a/√2 a√(3/2) |
| A = 1/2 a² + 1/2 a²√3 = 1/2 a²(1 + √3) |
|
|
