| a) Betrachte das Dreieick als 2 Teildreiecke mit den Winkeln 90°, 60° und 30°. |
| Diese Teildreiecke sind halbe gleichseitige Dreiecke und deshalb ist die kurze |
| Kathete eine halbe Seitenlänge. Die Höhe h des Dreiecks ist also a/2. |
| Berechnung der 2. Kathete des Teildreiecks: |
| x² + (a/2)² = a² |
| x² = a² - a²/4 = 3/4a² |
| x = a/2 √3 |
| Hypothenuse des großen Dreicks: c = 2x = a√3 |
| Berechnung des Umfangs: u = 4a + a√3 + 2(a/2) = 5a + a√3 = a(5 + √3) |
| Berechnung der Fläche: A = A-Dreieck + A-Trapez |
| A = 1/2 a√3 a/2 + 1/2 (a√3 + a√3 + 2 a/2) a/2 √3 |
| A = a²/4 √3 + a/4 (2a√3 + a) √3 = a²/4 √3 + a²/4 √3 (2√3 + 1) |
| A = a²/4 √3 (1 + 1 + 2√3) = 1/2 a² √3 (1 + √3) = 1/2 a² (3 + √3) |
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| b) Hypothenuse des großen Dreiecks wie bei a): c = a√3 |
| Seite unten: s = c - 2(a/2) = a√3 - a = a(√3 - 1) |
| Berechnung des Umfangs: u = 4a + s = 4a + a(√3 - 1) = a(3 + √3) |
| Berechnung der Fläche: A = A-Dreieck + A-Trapez |
| A = 1/2 a√3 a/2 + 1/2 (a√3 + a√3 - 2 a/2) a/2 √3 |
| A = a²/4 √3 + a/4 (2a√3 -a) √3 = a²/4 √3 + a²/4 √3 (2√3 - 1) |
| A= a²/4 √3 (1 + 2√3 - 1) = 3/2 a² |
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