| a) Oberfläche: O = πr² + 2πrh + πrs |
| 664 = πr² + 2πr * 10 + πr * 9,2 |
| r² + 29,2r - 664/π = 0 |
| r1,2 = -29,2/2 ± √((29,2/2)² + 664/π) |
| = -14,6 ± √(424,518) = -14,6 ± 20,60 |
| r > 0 => r = -14,6 + 20,6 = 6 |
| |
| Berechnung der Höhe des Kegels: h² = s² - r² |
| h = √(s² - r²) = √(9,2² - 6²) = √48,64 = 6,97 (gerundet) |
| |
| Berechnung des Volumens: V = V1 - V2 = π * 6² * 10 - 1/3 π * 6² * √48,64 |
| = π * (360 - 12 * √48,64) = 868 (gerundet) |
| |
| b) Für die Höhe h in einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge a gilt: |
| h² = a² - (a/2)² = a² - a²/4 = 3/4 a² |
| h = √(3/4 a²) = a/2 √3 |
| |
| Oberfläche: O = 6a * 3,5 + 6 * 1/2 a * a/2 √3 + 6 * 1/2 a * 7,2 |
| = 21a + 3/2 a² √3 + 21,6a = 3/2 √3 a² + 42,6a = 264 |
| 3/2 √3 a² + 42,6a - 264 = 0 |
| a² + 2/3 * 42,6/√3 * a - 2/3 * 264/√3 = 0 |
| a² + 85,2/9 √3 * a - 528/9 √3 = 0 |
| a1,2 = -42,6/9 √3 ± √((42,6/9 √3)² + 528/9 √3) |
| a1,2 = -8,20 ± 12,99 |
| a > 0 => a = -8,20 + 12,99 = 4,79 (gerundet) |
| |
| Berechnung der Pyramidenhöhe: (hPyr)² = 7,2² - (a/2 √3)² |
| hPyr = √(7,2² - 4,79²/4 * 3) = 5,88 (gerundet) |
| |
| Berechnung des Volumens (Formelsammlung auf Seite 218): |
| V = V1 + V2 = 3a²/2 √3 * hPrisma + a²/2 √3 * hPyr |
| = 3/2 * 4,79² * √3 * 3,5 + 1/2 * 4,79² * √3 * 5,88 |
| = 325 (gerundet) |
|
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