| a) Berechnung der 4. Seite x mit Pythagoras: |
| x² = (4a - 3a)² + (3a)² = a² + 9a² = 10a² |
| x = √(10a²) = a√10 |
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| u = 3a + 3a + 4a + a√10 = 10a + a√10 = (10 + √10)a |
| A = 1/2 (3a + 4a) 3a = 1/2 7a 3a = 1/2 21a² = 10,5a² |
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| b) x² = (10a)² - (8a)² = 100a² - 64a² = 36a² |
| x = √(36a²) = 6a |
| Die Länge der 4. Seite ist: 6a + 6a + 6a = 18a |
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| u = 6a + 10a + 18a + 10a = 44a |
| A = 1/2 (6a + 18a) 8a = 1/2 24a 8a = 12a 8a = 96a² |
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| c) Sinussatz: sinα = Gegenkathete / Hypothenuse |
| sin30° = 1/2 |
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| Berechnung der Länge der eingezeichneten Geraden x durch das Trapez: |
| sin30° = a / x |
| 1/2 = a / x |
| x = 2a |
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| Berechnung der Höhe h des Trapez: |
| (2a)² = a² + h² |
| h = √((2a)² - a²)) = √(3a²) = a√3 |
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| Der Winkel ganz links ist ebenfalls 30°. |
| Berechnung der Länge der unteren Seite y: |
| sin30° = 2a / y |
| 1/2 = 2a / y |
| y = 4a |
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| Berechnung der Länge der letzten unbekannten Seite z: |
| (4a)² = (2a)² + z² |
| z² = (4a)² - (2a)² = 16a² - 4a² = 12a² |
| z = √(12a²) = a√12 = 2a√3 |
| |
| u = a + a√3 + 4a + 2a√3 = (5 + 3√3)a |
| A = 1/2 (a + 4a) a√3 = 5/2 * √3 * a² |
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| d) x sei der rechte untere Abschnitt. |
| Der obere Winkel im rechten rechtwinkligen Dreieck ist 30°. |
| sin30° = x / a |
| 1/2 = x / a |
| x = a/2 |
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| Berechnung der Höhe h: |
| h² = a² - (a/2)² = a² - a²/4 = 3/4 a² |
| h = √(3/4 a²) = a/2 √3 |
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| Berechnung der Hypothenuse y des linken Dreiecks: |
| y² = h² + h² = 2h² = 2 * 3/4 * a² = 3/2 a² |
| y = a√(3/2) |
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| u = a + a + (a/2 + a + a/2 √3) + a√(3/2) |
| = 7/2 a + a/2 √3 + a/2√6 = a/2 (7 + √3 + √6) |
| A = 1/2 (a + (a/2 + a + a/2 √3)) a/2 √3 |
| = (5/2 a + a/2 √3) a/4 √3 = 5/8 a²√3 + 3/8 a² |
| = a²/8 (5√3 + 3) |
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